Navier-Stokes : singularités et bifurcations

Résumé

Cet article présente des avancées substantielles dans l'analyse des équations de Navier-Stokes pour les fluides compressibles et incompressibles, en se concentrant sur la formation de singularités, de bifurcations hypercomplexes et de régularité dans les espaces de Sobolev et de Besov. Grâce à de nouveaux théorèmes, nous étendons la théorie des singularités en dynamique des fluides et introduisons les bifurcations quaternioniques, représentant une extension innovante de la théorie classique des bifurcations. De plus, nous nous penchons sur l'étude de la régularité des fluides compressibles, en explorant les conditions dans lesquelles les solutions restent lisses ou développent des singularités. Ces contributions sont fondamentales pour la compréhension des problèmes de régularité globale, directement liés au célèbre problème du prix du millénaire, qui cherche des réponses définitives sur l'existence et la régularité des solutions aux équations de Navier-Stokes. De plus, nous discutons de la manière dont ces avancées théoriques offrent de nouvelles approches aux problèmes non résolus liés à la formation de singularités dans les écoulements turbulents et au comportement multi-échelle des solutions, qui sont essentiels pour une compréhension globale de la dynamique des fluides. Ce travail élargit non seulement la portée de l'analyse mathématique traditionnelle des équations de Navier-Stokes, mais établit également un cadre théorique robuste pour l'étude des bifurcations et de la régularité dans les espaces fonctionnels avancés, favorisant une compréhension plus approfondie des phénomènes de régularité globale et de la dynamique complexe régissant les systèmes fluides.